どんぐり

「はぁ～。」

大妖精が憂鬱そうに溜息をつく。

「どったの？大ちゃん。」

チルノがすかさず大妖精の顔を覗き込む。

「あのね、1/2X^2を微分するとXになるでしょ？でも実は私、X^ndx=nX^(n-1)という公式を暗記しただけで、
これがどういうものなのかいまいちわからないの。」

「ふ～ん。それなら、図に描いてみるとわかりやすいから、今から説明してあげるね。」
「∫xdxは、何かを微分した結果xになる値だから、1/2x^2よね。では今から、y=xのグラフと、x軸とに挟まれた図形を見てみるわ。
仮にx=0から、x=2までを積分するとしましょう。この三角形の面積は底辺がxの値だから2、高さがy軸の値だから2。よって(2×2)/2=2。

「次は∫x^2dxを見てみましょうか。積分すると1/3x^3ね。今度は三角形の斜辺が放物線になったような図形になったわね。
前回と同じようにx=0からx=2までの積分をすると、8/3。そしてこの分子の8というのは、(x,y)=(0,0)(2,0)(2,4)(0,4)の4点を
頂点とした長方形の面積にほかならず、これの1/3がさきほどの3角形っぽい形の面積になるの。」

「わぁ～、1/2x^2の、1/2の操作が行われた様子が、図形が3角形を描くことで幾何的にわかるのね。なんだか、法則を丸暗記してたころの怖さみたいなのが
溶けてなくなっていく気がするわ。」

「あたいは溶けるって言葉あまり好きじゃないんだけどねﾀﾊﾊ･･･それじゃあ、ふたつめの例で説明した∫x^2dxを、y軸を中心にぐるりと1回転させてみましょう。
その範囲をx^2πyであらわされる円柱から削り取ったら、どんな立体が出来るかしら？」

「えーっと、どんぐりみたいな形？」

「そうね。では、そのどんぐりはx^2πyであらわされる円柱の体積と比べるとどうなっているかしら？」

「2∫x^2dxはx=0から2の範囲だと、16/3で、底辺4、高さ4の四角形の1/3になっているから～、同じように体積も1/3削られた結果、2/3かな？」

「ウフフ。じゃあ計算して確かめてみましょう。まず、このどんぐりの高さを0からyとして、yを限りなく薄く輪切りにするわ。
ひとつひとつの円の面積を求めて、もとのyの高さまで積み上げれば、体積が求まるわね。ここで仮に、どんぐりの高さyをa、aのときの半径xをbと置きましょう。
どんぐりの高さaが4であれば、半径bは2。y/a=x^2/b^2だから、x=b(y/a)^(1/2)。これが半径になるわ。あとはy=0からy=aまで積分すればいいだけだから、
　∫π×b^2×(y/a)dyをy=0からaまで　=(πb^2)/a[(a^2)/2]　=1/2πab^2。」



「あぁっ！それじゃあ、私が予想した2/3じゃなくて、1/2が正解ってことなのね！先入観でこうだろうと決め付けずに、
自分の手を動かして計算をすると、予想とは違った答えがはじき出される。これってまるで、この人はこういう人だと決め付けて、
その人の本当の魅力を知らずにいたのを、誤解を解いたような感じだわ。ううん、もっと大袈裟に言えば、私自身が問題を解く前とは別人に
生まれ変わっている。変身願望や、他人の目線で物事を見たいという欲求は誰しもあるものだけど、それをこうやって満たすことができるなんて！」

「素敵よね～うふっ♪何でも、やってみなきゃわからないのよね。」